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A spasso con Einstein: una passeggiata nello spazio-tempo

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di Luciana Ziino

Nel 1905 Albert Einstein formulò la Teoria della Relatività Ristretta; undici anni dopo pubblicò nella rivista Annalen der Physik la Teoria della Relatività Generale. Entrambe avrebbero cambiato per sempre il corso della fisica, rivoluzionando la nostra concezione dello spazio e del tempo. Sebbene spesso queste teorie vengano accostate al relativismo che, agli inizi del novecento, entrò in modo dirompente nella cultura, nella filosofia e nella letteratura, il principio cardine su cui si basano non ci dice banalmente che tutto è relativo, ma al contrario afferma che le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento. È anche vero però che con queste due teorie cade l’assolutezza dello spazio e del tempo che Galileo e Newton ci avevano tramandato.

In questo articolo ci soffermeremo in particolare sulla Relatività Generale, che costituisce l’estensione dei concetti della Relatività Ristretta ai sistemi di riferimento non inerziali, che cioè non si muovono a velocità costante ma sono accelerati.

La rivista Annalen der Physik nella quale fu pubblicato nel 1916 l’articolo in cui Einstein formulava la Teoria della Relatività Generale. Crediti: Focus.it

La riflessione che portò Einstein a formulare la sua rivoluzionaria teoria partì dall’enunciazione del principio di equivalenza: questo principio, già intuito da Galilei, stabilisce l’uguaglianza tra la massa inerziale e la massa gravitazionale di un corpo. La prima è la resistenza che un qualsiasi corpo oppone all’essere accelerato; la seconda è all’origine della forza gravitazionale tra i corpi. L’uguaglianza di queste due quantità può essere spiegata attraverso un esperimento mentale molto noto. Supponiamo di trovarci in un ascensore fermo all’interno di un campo gravitazionale uniforme; dall’interno dell’ascensore non è possibile guardare l’esterno. Naturalmente, per effetto della gravità saremmo con i piedi ben piantati sulla base dell’ascensore; immaginiamo anche che dal tetto dell’ascensore penda un filo che termina con una lampada. Anche in questo caso è banale aspettarsi che la lampada, per effetto della gravità, faccia tendere il filo verso il basso. Adesso cambiamo le carte in tavola: supponiamo di essere sempre dentro un ascensore, che però è a gravità zero, ma subisce dall’esterno un’accelerazione verso l’alto di valore esattamente uguale all’accelerazione di gravità del sistema precedente. Cosa succederà stavolta? A causa dell’accelerazione, verremo spinti contro il pavimento dell’ascensore; inoltre, il filo attaccato al tetto della cabina verrà accelerato allo stesso modo in cui viene accelerato l’ascensore, ma la lampada con la sua massa farà resistenza, facendo tendere il filo verso il pavimento.

Nella figura una persona in una cabina isolata dal mondo esterno non riesce a distinguere se si trova in un ascensore fermo, sotto l’effetto della gravità, o in un’astronave in assenza di gravità che si muove con accelerazione g. Crediti: Scientificast.it

Insomma, la situazione all’interno della cabina sarà identica nei due casi. Potremo capire in quale dei due sistemi ci troviamo? Assolutamente no! I due sistemi sono perfettamente equivalenti e questo ha come conseguenza che massa gravitazionale (caso 1) e massa inerziale (caso 2) sono la stessa cosa. Attenzione: l’equivalenza tra i due sistemi di riferimento vale solo localmente e cioè fino a quando sono trascurabili le variazioni dell’accelerazione di gravità da punto a punto nello spazio.

Dal punto di vista matematico, un sistema di riferimento accelerato può essere descritto allo stesso modo di un sistema inerziale, ma con coordinate curvilinee, cioè coordinate la cui rappresentazione non è più su una retta ma su una curva. Questo non ha come conseguenza che lo spazio-tempo sia curvo, perché esistono sempre sistemi di riferimento (quelli inerziali) in cui le coordinate appaiono di nuovo rettilinee. Per il principio di equivalenza (descritto dall’esperimento mentale citato prima), se il campo gravitazionale fosse uniforme, cioè l’accelerazione di gravità fosse la stessa in tutti i punti, lo spazio-tempo rimarrebbe piatto. Ma siccome l’accelerazione di gravità cambia da punto a punto, questa affermazione è vera soltanto in regioni dello spazio-tempo sufficientemente piccole; in altre parole, possiamo trasformare le coordinate curvilinee in coordinate rettilinee solo localmente, e non in tutti i punti dello spazio-tempo e ciò rende lo spazio-tempo non più piatto, ma intrinsecamente curvo. È una vera rivoluzione!

Un vagone abbandonato sul quale è dipinta l’equazione di campo di Einstein, l’equazione fondamentale della Relatività Generale, che descrive la curvatura dello spazio-tempo in funzione della densità di materia, dell’energia e della pressione. È la trasposizione in termini matematici del seguente concetto: la massa curva lo spazio-tempo e la curvatura dello spazio-tempo determina il moto delle masse. Crediti: Jimmy Harris

In questa nuova concezione, la gravità non è più una forza che si propaga a velocità infinita ma un effetto della deformazione dello spazio-tempo dovuta alla presenza di una massa. Le masse curvano lo spazio-tempo e la curvatura dello spazio-tempo determina il moto delle masse. Il modo più semplice per esemplificare questo concetto è l’esempio del telo elastico sul quale sono presenti delle biglie più o meno pesanti che lo deformano (esempio sul quale non mi dilungherò in quanto già illustrato nella letteratura innumerevoli volte).

In questo spazio-tempo curvo anche la luce viene deflessa, e la deflessione è tanto maggiore quanto più massiccio è il corpo che determina la deformazione.

Esemplificazione della deformazione dello spazio-tempo (il telo reticolato) dovuta alla massa dei corpi celesti (le biglie colorate). Crediti: ESA

Le conseguenze della Relatività Generale sul tempo: dilatazione temporale e redshift gravitazionale
Una delle conseguenze più interessanti della curvatura dello spazio-tempo si applica allo scorrere del tempo. Se già con la relatività ristretta, il tempo aveva perso quell’assolutezza che da sempre lo aveva caratterizzato ed era diventato una quantità che cambia a seconda del sistema di riferimento, la nuova teoria di Einstein introduce un ulteriore fattore di relatività.

Infatti, il tempo scorre più lentamente laddove è più intenso il campo gravitazionale, ovvero, secondo la nuova visione di Einstein, laddove lo spazio-tempo è maggiormente deformato. Al contrario, allontanandosi dalla massa che curva lo spazio-tempo, il tempo scorre più velocemente. Dunque, potremmo dire che i nostri piedi invecchiano più lentamente della nostra testa, perché si trovano in un campo gravitazionale più intenso. Chiaramente, in questo caso l’effetto è talmente piccolo che, di fatto, non lo possiamo percepire.

Una conseguenza della dilatazione temporale sopra descritta è il redshift gravitazionale. La parola redshift vuol dire spostamento verso il rosso e indica una riduzione di frequenza della radiazione emessa da una sorgente qualsiasi. In generale, a causare il redshift (o al contrario il blueshift) possono essere diversi fenomeni, come il moto della sorgente nel caso dell’effetto Doppler o l’espansione dell’universo nel caso del redshift cosmologico. Ma la variazione di frequenza di cui parliamo adesso è di natura gravitazionale, cioè dovuta ancora una volta alla presenza di una massa che deforma lo spazio-tempo.

Una sorgente emette radiazione elettromagnetica a una certa frequenza; per effetto del redshift gravitazionale, colui che riceverà il segnale, osserverà una frequenza più bassa. Crediti: eniscuola.net

Supponiamo di trovarci a grandissima distanza dalla massa in questione (ad esempio un buco nero) e supponiamo anche che tra noi e il buco nero ci sia una sorgente di luce, come una stella. Qualunque sia la frequenza della radiazione emessa dalla stella, la frequenza che noi osservatori riceveremo sarà redshiftata, cioè spostata verso valori più bassi. E più la stella è vicina al buco nero, più grande sarà il redshift della radiazione, fino ad arrivare al caso estremo in cui la stella si trova in corrispondenza dell’orizzonte degli eventi del buco nero. In questo caso, qualunque sia la frequenza della radiazione emessa, la frequenza che noi riceveremo sarà nulla. Questo è un modo diverso per dire che dal buco nero non potrà mai uscire un raggio di luce.

La prima prova della Relatività Generale

Nel 1919, ad appena tre anni dalla pubblicazione di Einstein, si verificò la prima occasione per testare sperimentalmente la validità della teoria. Il 29 maggio infatti ci sarebbe stata un’eclissi di Sole e Arthur Eddington, uno dei pochissimi astronomi inglesi che avevano accolto con entusiasmo la nuova teoria, non voleva farsi scappare questa grande possibilità. Organizzò una spedizione all’Isola di Principe, nel golfo di Guinea. Un’altra spedizione, al seguito dell’astronomo Andrew Crommelin dell’Osservatorio di Greenwich, si diresse a Sobral, in Brasile. Entrambe le località si trovavano nella zona in cui l’eclisse era totale. Ma cosa speravano di trovare osservando un fenomeno sicuramente suggestivo ma non certo nuovo? Come ben sapete, quando avviene un’eclissi solare, la Luna col suo disco ricopre interamente il disco del Sole; il cielo diventa buio e diviene possibile osservare delle stelle nonostante la presenza del Sole. Quel giorno, il Sole splendeva nella costellazione del Toro, fra le Iadi, un ampio ammasso stellare. Confrontando la posizione di queste stelle durante l’eclisse con quella che normalmente hanno nel cielo notturno, si poteva verificare se, effettivamente, la luce, in presenza di una grande massa come il Sole venisse deflessa.

Immagine originale dell’eclisse di Sole del 1919, prima del restauro digitale. Image Credit: F. W. Dyson, A. S. Eddington, & C. Davidson

A Sobral, dove il tempo fu splendido, ottennero otto lastre fotografiche utili; all’Isola di Principe, dove un temporale scoppiato proprio all’inizio dell’eclisse fece tremare Eddington e i suoi colleghi, si riuscirono ad ottenere soltanto due lastre utilizzabili su sedici che erano state esposte. Ma il risultato arrivò lo stesso: una volta sviluppate le lastre e dopo calcoli complessi, risultò una deflessione della luce pari a 1,98” – un angolo mille volte più piccolo del disco della Luna – in perfetto accordo con le previsioni della Relatività. Era iniziata una nuova epoca e la nostra concezione dello spazio e del tempo era cambiata per sempre.

La prova della Relatività Generale ebbe grande eco nel mondo, tanto da conquistare le prime pagine dei giornali: “Luci di traverso nei cieli”, titolò il New York Times, commentando “le stelle non sono dove sembrano essere, ma nessuno si deve preoccupare”. Fu probabilmente quello il momento in cui Einstein diventò una star.

Le lenti gravitazionali

Di fatto, lo spostamento apparente delle stelle, causato dalla massa del Sole, era il primo esempio di lente gravitazionale, un fenomeno previsto dalla relatività e osservato diverse volte nei decenni successivi con immagini spettacolari di galassie sdoppiate o di anelli di luce attorno a oggetti lontanissimi.

La radiazione proveniente da una galassia lontana viene distorta in archi di luce a causa dell’effetto di lente gravitazionale, dovuto a un ammasso di galassie posto tra noi e la sorgente. Image Credit: ESA/Hubble, NASA

Quello che avviene è che la luce proveniente ad esempio da una galassia molto distante viene ‘piegata’ da una massa che si trova tra la sorgente e l’osservatore. Questo corpo che, con la sua massa, è in grado di deviare i raggi di luce, agisce in modo analogo ad una lente ottica, amplificando un segnale luminoso o deformando l’oggetto originale fino a formarne immagini multiple.

Gli altri test ‘classici’ della Relatività

Oltre alla deflessione della luce verificata nel 1919 durante l’eclissi di Sole, ci furono altre due prove della validità della teoria di Einstein: il calcolo della precessione del perielio di Mercurio e l’esperimento di Pound e Rebka sul red-shift gravitazionale. Questi tre test erano stati proposti dallo stesso Einstein e sono chiamati test classici della relatività generale.

Precessione del perielio di Mercurio

Il perielio dell’orbita di un pianeta è il punto di massimo avvicinamento del pianeta al Sole. A causa dell’interazione gravitazionale con gli altri pianeti, il perielio, orbita dopo orbita, si va spostando, “ruotando” attorno al Sole. Questo fenomeno è chiamato precessione del perielio. È un effetto previsto dalla meccanica classica Newtoniana, che calcola in modo corretto la precessione di tutti i pianeti del nostro sistema solare tranne uno, Mercurio. Già nel 1846 Urbain Le Verrier si era accorto che il perielio di Mercurio si spostava più di quanto previsto: infatti, la precessione osservata era pari a 5600 secondi d’arco (ca. 1,6 gradi) per secolo, mentre quella calcolata sulla base della teoria newtoniana era di soli 5557 secondi d’arco per secolo. Mancavano all’appello 43 secondi. L’astronomo francese pensava che la discrepanza fosse dovuta alla presenza di un pianeta situato tra Mercurio e il Sole. Vulcano – così era stato chiamato – non venne mai scoperto e l’ipotesi di Le Verrier si rivelò infondata. Bisogna aspettare la relatività generale per calcolare finalmente in modo esatto la precessione del perielio di Mercurio: i calcoli di Einstein davano conto dei famosi 43’’ che mancavano all’appello.

Precessione del perielio di Mercurio. Image Credit: wikipedia

Esperimento di Pound-Rebka

Per verificare l’esistenza del redshift gravitazionale, previsto dalla teoria di Einstein, R. V. Pound and G. A. Rebka idearono un esperimento ingegnoso, i cui risultati furono pubblicati il 15 ottobre del 1959. La sede del loro esperimento fu una torre alta 22,5 metri che si trovava al Jefferson Physical Laboratory dell’Università di Harvard. Alla sommità e alla base della torre furono posizionati dei campioni di atomi di Fe57 . La fisica ci dice: ogni volta che un atomo cambia stato, emette o assorbe fotoni solo a frequenze ben precise. Questo vale anche per il Fe57. Dunque, i raggi gamma (cioè fotoni ad alta energia) emessi dal ferro in cima alla torre, dovevano essere riassorbiti dal ferro situato alla base della torre. Ma il campo gravitazionale presente alla base della torre era più forte rispetto a quello della sommità; una differenza impercettibile che però modificava la frequenza dei fotoni ricevuti. Gli atomi di ferro posti alla base non erano più in grado di assorbire i raggi gamma. Questo risultato già dimostrava che era avvenuta una variazione di frequenza (in questo caso un blueshift), dovuta alla differenza di potenziale gravitazionale tra la cima e la base della torre.

Ma Pound e Rebka non si fermarono a questa conclusione, già di per sé significativa. Riuscirono a misurare di quanto era cambiata la frequenza dei fotoni emessi, sfruttando l’effetto Doppler, cioè la variazione di frequenza di un sorgente di radiazione in moto. L’idea dei due fisici era di fare muovere la sorgente finché l’effetto Doppler avesse compensato la differenza di frequenza dovuta al campo gravitazionale. In questo modo, si poteva misurare esattamente l’effetto del redshift gravitazionale. Per mettere in pratica il loro programma, fissarono i campioni di ferro al cono di un altoparlante messo in vibrazione da un segnale di frequenza nota e variabile a piacere. Facendo vibrare l’altoparlante, la sorgente si muoveva a varie velocità. Quindi variarono la velocità della sorgente finché gli atomi di ferro furono in grado di assorbire i fotoni. A quel punto il gioco era fatto! Bisognava misurare la velocità, e da questa calcolare la differenza di frequenza e quindi l’entità del blueshift.

La Relatività oggi

Dopo queste prime verifiche sperimentali, ci sono state molte altre prove della relatività generale, come l’esistenza delle onde gravitazionali, previste da Einstein ma mai rivelate fino al 14 settembre 2015, quando l’interferometro americano LIGO ha osservato l’onda gravitazionale generata dalla fusione di due massicci buchi neri (circa 30 masse solari ciascuno) distanti 1,3 miliardi di anni luce da noi. Poi, il 10 aprile del 2019, è stata la volta della prima immagine dell’ombra di un buco nero supermassiccio al centro della galassia M87, che ha provato in modo definitivo e inequivocabile l’esistenza dei buchi neri.

La prima immagine dell’orizzonte degli eventi di un buco nero, realizzata da una rete globale di otto radiotelescopi nell’ambito del progetto internazionale Event Horizon Telescope e resa pubblica il 10 aprile del 2019. Il buco nero si trova al centro della galassia M87 a 55 milioni di anni luce da noi ed ha una massa pari a circa 6,5 miliardi di masse solari. Per confronto, la massa del buco nero supermassiccio al centro della Via Lattea ha una massa di circa 4 milioni di volte quella del Sole. Image Credit: The Event Horizon Telescope

Ma c’è una tecnologia che è ormai entrata nella nostra vita quotidiana e che non potrebbe funzionare senza la relatività (ristretta e generale), ovvero il GPS. Alla quota alla quale si trovano i satelliti GPS il campo gravitazionale terrestre è meno intenso ed il tempo scorre più velocemente di circa 45 microsecondi rispetto al tempo misurato sulla Terra (a questo effetto si aggiunge anche un rallentamento di circa 7 microsecondi che è conseguenza invece della relatività ristretta). Senza la correzione complessiva di 38 microsecondi degli orologi dei satelliti GPS, il navigatore della nostra auto ci porterebbe fuori strada di svariati chilometri!

Questo è un esempio che ci fa capire come la teoria formulata da Einstein sia più vicina alla realtà quotidiana di quanto noi pensiamo. Sebbene la sua validità sia stata ripetutamente provata, esiste ancora un problema al quale i fisici di tutto il mondo stanno cercando di dare una risposta: il conflitto tra la relatività generale e la meccanica quantistica. La prima rappresenta in modo deterministico i fenomeni del macrocosmo; la seconda descrive il comportamento della natura a livello subatomico. Entrambe le teorie funzionano nei loro rispettivi ambiti, ma forniscono una visione della natura completamente diversa. L’indeterminazione intrinseca dei quanti è incompatibile con la classica e ordinata bellezza del mondo descritto dalla relatività generale. Ma la natura è una sola e quindi deve esserci un modo per unificare le due teorie. Riuscire a risolvere questo rompicapo è davvero difficile, quindi ci tocca aspettare e avere pazienza!

di Luciana Ziino